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1. 베르누이 정리
1.1. 베르누이 정리의 정의와 특징
베르누이 정리의 정의와 특징은 다음과 같다.
베르누이 정리(Bernoulli's theorem)는 유체가 흐르는 속도와 압력, 높이의 관계를 수량적으로 나타낸 법칙이다. 점성과 압축성이 없는 이상적인 유체가 규칙적으로 흐르는 경우에 대해 유체의 위치에너지와 운동에너지의 합이 항상 일정하다는 성질을 이용하여 설명한다."
베르누이 정리의 주요 특징은 다음과 같다.
첫째, 유체의 압력, 유속, 높이 사이의 관계를 수량적으로 나타낸다. 즉, 유체가 흐르면서 압력이 감소하고 유속이 증가하며, 높이가 증가하면 압력과 유속이 감소한다는 상관관계를 보여준다."
둘째, 유체의 위치에너지와 운동에너지의 합이 일정하다는 에너지 보존 법칙을 바탕으로 한다. 따라서 유체의 압력, 유속, 높이가 서로 영향을 주고받음을 의미한다."
셋째, 점성과 압축성이 없는 이상적인 유체가 규칙적으로 흐르는 경우에 대해 적용된다. 실제 유체에는 점성과 압축성이 존재하므로 실제 적용 시 이를 고려해야 한다."
1.2. 베르누이 정리의 수학적 표현
베르누이 정리의 수학적 표현은 다음과 같다.
비압축성 유체가 이상적으로 흐르는 경우, 임의의 유선(streamline) 상의 임의의 두 점 1과 2에 대하여 다음 식이 성립한다:
p1/ρ + v1^2/2g + z1 = p2/ρ + v2^2/2g + z2 = H = 상수
여기서,
p: 압력 [Pa]
ρ: 밀도 [kg/m^3]
v: 유체의 속도 [m/s]
g: 중력가속도 [m/s^2]
z: 기준면으로부터의 높이 [m]
H: 단위중량당 전 수두 [m]
이 식은 유체의 압력에너지, 운동에너지, 위치에너지의 합이 일정함을 나타낸다. 즉, 유체의 역학적 에너지는 보존된다는 것을 의미한다.
실제 유체에서는 점성 등의 영향으로 인해 에너지 손실이 발생하므로, 이를 고려하여 식은 다음과 같이 수정된다:
p1/ρ + v1^2/2g + z1 = p2/ρ + v2^2/2g + z2 + hL1-2
여기서 hL1-2는 점 1에서 점 2까지의 단위중량당 마찰손실수두를 나타낸다.
1.3. 압력수두, 속도수두, 위치수두
압력수두는 유체의 압력이 물기둥의 높이로 환산된 것을 의미한다. 즉, 실린더 내의 압력 P[kg/㎠]가 있을 때, 이 압력수두는 P/γ[m]로 나타낼 수 있다. 여기서 γ는 단위체적당 유체의 중량을 나타낸다. 따라서 압력수두는 실린더 내의 압력이 줄어드는 양만큼 물기둥의 높이가 낮아진다는 것을 의미한다.
속도수두는 유체의 운동에너지가 물기둥의 높이로 환산된 것을 의미한다. 즉, 유체가 속도 V[m/s]로 흐를 때, 이 속도수두는 V^2/2g[m]로 나타낼 수 있다. 여기서 g는 중력가속도를 나타낸다. 따라서 속도수두는 유체의 속도가 빨라질수록 물기둥의 높이가 높아진다는 것을 의미한다.
위치수두는 유체의 위치에너지가 물기둥의 높이로 환산된 것을 의미한다. 즉, 유체가 높이 Z[m]에 있을 때, 이 위치수두는 Z[m]로 나타낼 수 있다. 따라서 위치수두는 유체의 높이가 높아질수록 물기둥의 높이도 높아진다는 것을 의미한다.
이처럼 압력수두, 속도수두, 위치수두는 유체가 갖고 있는 에너지 상태를 물기둥의 높이로 환산한 것으로, 베르누이 정리에서는 이 세 가지 수두의 합이 항상 일정하다는 것을 나타낸다. 이를 통해 유체의 압력, 속도, 위치 간의 관계를 이해할 수 있다.
1.4. 베르누이 정리의 가정 및 실제 적용상 고려사항
베르누이 정리는 유체의 속력, 압력, 위치에너지의 관계를 나타내는 중요한 법칙이지만, 실제로 적용할 때에는 몇 가지 가정과 한계점을 고려해야 한다.
첫째, 베르누이 정리는 비압축성, 비회전성, 정상 유동, 점성력 무시와 같은 가정을 전제로 한다. 즉, 유체의 밀도가 일정하고 유선이 경계층을 통과하지 않으며 시간에 따른 변화가 없어야 한다. 또한 유체의 점성력을 무시할 수 있어야 한다. 그러나 실제 유체 유동에서는 이러한 이상적인 조건을 완전히 충족시키기 어렵다.
둘째, 실험이나 실제 공정에서는 마찰, 난류, 유동 분리 등으로 인해 에너지 손실이 발생한다. 이 경우 베르누이 방정식에 마찰손실수두 항을 추가해야 한다. 마찰손실수두는 유체의 점성과 유동 조건에 따라 달라지므로 정확한 예측이 어렵다.
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