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1. 서론
1.1. 왕상현의 수학 탐구 보고서 개요
벤포드의 법칙을 이용하여 논문의 통계들을 분석하여 통계 조작이라는 부정행위를 의심하는 내용의 논문을 접해 벤포드의 법칙에 대해 알아보았고, 이를 피보나치 수열에 적용해 보았다. 적용 결과 미세한 오차가 있긴 했지만 피보나치 수열 또한 벤포드의 법칙이라는 경향성을 띤다는 것을 알게 되었다. 또한 벤포드의 법칙을 실생활에서 어떻게 이용하고 있는지 알아보았다. 이번 탐구를 통해 수학 교과목에 대한 흥미를 높이고 수학과 다른 학문을 연관 지어 생각해보며 사고력을 넓힐 수 있는 기회가 되었다.
1.2. 벤포드의 법칙 발견과 적용
캐나다 출신의 미국인 천문학자 사이먼 뉴컴은 1881년 미국 수학 저널에 실린 논문에서 낡은 로그표들을 살펴보던 중 1로 시작하는 수들의 로그 값이 9로 시작하는 수들의 로그 값보다 더 많이 나타나는 기이한 현상에 주목하였다. 이는 사용자들이 로그표를 첫 페이지부터 읽다가 중간에 그만둔 것이 아니라, 1로 시작하는 수의 로그 값이 가장 많이 필요했기 때문이었다.
뉴컴은 이 현상이 로그함수의 특성에 기인한다고 주장하였는데, 구체적으로 임의의 수가 d를 첫 번째 숫자로 가질 확률이 log(d+1) - log(d)라고 설명하였다. 이후 물리학자 프랭크 벤포드가 1938년 이 현상을 로그표 외에도 다양한 데이터 집합에서 관찰하면서 이를 '이례적인 수들의 법칙'이라 명명하였다.
벤포드는 자신의 연구를 통해 미국 도시들의 인구, 『미국 과학자』의 주소, 원소들의 원자량, 강들의 면적 등 다양한 자료에서 1부터 9까지의 숫자가 첫 자리 수로 등장하는 확률이 로그함수에 따라 감소한다는 것을 확인하였다. 비록 정확히 일치하지는 않지만, 대부분의 데이터에서 1이 약 30.1%, 2가 약 17.6%, 3이 약 12.5% 등으로 나타나는 패턴을 발견할 수 있었다. 이처럼 벤포드의 법칙은 자연과학, 재정학, 경제학 등 다양한 분야에서 관찰되는 일반적인 경향성을 반영하고 있는 것으로 확인되었다.
1.3. 피보나치 수열과 벤포드의 법칙
피보나치 수열은 첫째 항과 둘째 항을 1로 놓고 세 번째 항부터는 앞의 두 항을 더하여 만드는 수열이다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 로 계속된다.
400항까지 구한 피보나치 수열의 각 항의 첫 자리 수 분포를 조사한 결과, 대략적으로 벤포드의 법칙을 따르는 것으로 나타났다. 구체적으로, 1이 처음에 나오는 경우가 121번으로 전체의 30.3%를 차지하고, 2가 70번으로 17.5%, 3이 51번으로 12.8%, 4가 37번으로 9.3%, 5가 32번으로 8.0%, 6이 27번으로 6.8%, 7이 23번으로 5.8%, 8이 21번으로 5.3%, 9가 18번으로 4.5% 나타났다.
이는 벤포드의 법칙이 예측하는 확률과 매우 유사한 수준이다. 벤포드의 법칙에 따르면 1이 처음에 나오는 경우가 약 30.1%이고, 2가 17.6%, 3이 12.5%, 4가 9.7%, 5가 7.9%, 6이 6.7%, 7이 5.8%, 8이 5.1%, 9가 4.6% 나타날 것으로 예측된다.
피보나치 수열의 첫 두 항을 다른 값으로 변경해도 이러한 경향성은 크게 달라지지 않는다. 이를 통해 피보나치 수열이 벤포드의 법칙을 따르는 경향성을 보인다는 것을 알 수 있다. 다른 수열에 대해서도 이와 유사한 결과가 나타날 것으로 예상된다.
벤포드의 법칙은 자연과학 법칙처럼 절대적 진리는 아니지만, 상당한 자료에서 성립하는 경향성을 나타내는 것으로 볼 수 있다. 피보나치 수열의 경우에도 이러한 경향성을 보인다는 점에서 흥미로운 결과라고 할 수 있다.
2. 벤포드의 법칙
2.1. 벤포드의 법칙의 원리와 특징
벤포드의 법칙의 원리와 특징은 다음과 같다.
벤포드의 법칙은 자연계에서 발생하는 많은 수치 데이터에서 관찰되는 법칙이다. 이에 따르면 1부터 9까지의 수가 첫 자리 숫자로 나타날 확률은 균등하지 않고, 1이 30.1%, 2가 17.6%, 3이 12.5% 등으로 로그함수적 분포를 보인다. 즉, 첫 자리 숫자가 작을수록 그 수가 나타날 확률이 높다는...
