본문내용
1. 실험 목적 및 원리
1.1. 단진자 운동의 원리
단진자는 질량이 무시되는 길이 l인 끈에 질량 m인 추가 추 중심에서 진자 끝까지의 거리가 L이 되도록 매달려 주기 운동하는 것이다. 이때 m인 추가 되돌아가려는 힘인 복원력이 존재하며, 이 복원력은 F=-mg`sin theta =m {d ^{2} S} over {dt ^{2}} 와 같이 주어진다. 여기서 S는 추의 변위이다.
만약 theta 가 매우 작다면 sin theta 를 theta 로 근사할 수 있다. 이 경우 식은 -mg {S} over {L} =m {d ^{2} S} over {dt ^{2}}가 되며, {d ^{2} S} over {dt ^{2}} =- {g} over {L} S=-w ^{2} S와 같이 정리된다. 이때 w는 w= sqrt {{g} over {L}}로 정의되며, w= sqrt {{g} over {L}} =2 pi f= {2 pi } over {T}가 성립한다. 따라서 중력가속도 g는 sqrt {{g} over {L}} = {2 pi } over {T}로부터 g= {4 pi ^{2} L} over {T ^{2}}로 구할 수 있다.
이처럼 단진자 운동에서 주기 T는 길이 L과 중력가속도 g에 의해 결정되며, 추의 무게와는 무관하다. 따라서 단진자의 주기를 측정하여 중력가속도를 계산할 수 있다.
1.2. 물리진자(Borda 진자)의 운동 방정식
물리진자(Borda 진자)의 운동 방정식은 다음과 같이 설명할 수 있다.
물리진자는 질량 M인 강체가 임의의 회전축 O'를 중심으로 연직선 내에서 진동하는 것이다. 따라서 물리진자의 운동방정식은 I {d^2 theta} over {dt^2} = -mgd`sin theta 로 주어진다. 이때 d는 회전축 중심 O'로부터 물리진자의 질량 중심 G까지의 거리이며, I는 진자의 관성모멘트이다. 만약 sin theta가 매우 작다면 theta로 근사할 수 있으므로, 운동방정식은 {d^2 theta} over {dt^2} = - {mgd theta} over {I} = -w^2 theta 와 같이 단순화할 수 있다. 여기서 각 진동수 w는 w = sqrt {{mgd} over {I}} = {2 pi} over {T}(T는 주기)로 주어진다. 이 w에 대한 식을 이용하면 중력가속도 g는 g= {4 pi^2} over {T^2} {I} over {md}로 나타낼 수 있다. 그림 10.3의 Borda 진자에서, d = l+r이며 진자의 관성모멘트는 I = {2} over {5} mr^2 + m(l+r)^2 이므로, 이를 대입하면 최종적으로 물리진자에 의한 중력가속도는 g= {4 pi^2} over {T^2} ( {2} over {5} {r^2} over {(l+r)} + (l+r)) 로 계산할 수 있다. 즉, 물리진자의 경우에는 진자의 길이뿐만 아니라 추의 반경까지 고려하여 중력가속도를 구해야 한다. 이를 통해 단진자와 달리 물리진자에서는 추의 크기 및 회전 효과가 중요하게 작용함을 알 수 있다.
1.3. 실험의 목적
Borda 진자의 주기와 길이를 측정하여 그 지점의 중력가속도 g를 구하는 것이 이번 실험의 목적이다. 단진자와 물리진자의 운동 방정식 및 주기 공식을 활용하여 중력가속도를 계산할 수 있다. 이를 통해 단진자 운동과 물리진자 운동에서 중력가속도가 어떤 영향을 미치는지 확인할 수 있다. 또한 실험 결과의 오차 요인을 분석하고 개선 방안을 모색하여 향후 연구 및 실험 발전 방향을 제시하고자 한다. [1,2,3]
2. 실험 방법
2.1. 실험 장치 및 준비물
실험 장치로는 단진자 운동을 관찰할 수 있는 스탠드, 진자 길이를 조절할 수 있는 장치, 진폭을 확인할 수 있는 눈금이 있는 자가 마련되어 있다. 또한 다양한 무게의 추 3개(50g, 100g, 200g)와 자, 스톱워치(또는 스마트폰)를 준비한다. 진자 운동 시 정확한 길이 측정을 위해 섬세한 철사를 사용한다. 실험에 필요한 모든 도구와 장치를 준비하여 실험 결과의 오차를 최소화하고자 한다.
2.2. 실험 절차
먼저 실로 추를 매단다. 진폭이 3도 이하가 되도록 추를 작은 진폭으로 진동시킨다. 진동의 시작점을 정하고 20번 진동할 때마다 시간을 측정하여 진동 주기 T를 구한다. 진자의 길이 l과 추의 반경 r을 5회 측정하여 평균값을 구한다. 무거운 추와 가벼운 추로 각각 다른 길이의 실에 대해 이를 반복하여 실험을 진행한다. 마지막으로 l과 r의 평균값을...
