본문내용
1. 지수함수로 보는 타이레놀의 혈중 농도 차이
1.1. 주제 선정 동기
수학1 자유과제3에서 지수함수의 활용문제를 만들었을 때 나의 진로분야인 약학과 관련된 수학 공식을 찾아보다가 지수함수를 이용한 약물의 혈중 농도 공식을 알게 되었고, 이를 사용해서 타이레놀의 흡수에 관한 문제를 만들고 변형했었다. 당시 내용을 조사할 때보다 좀 더 자세하게 비교하고 싶어서 이 주제를 선정하게 되었다.
약물의 혈중농도 그래프는 시간에 따른 약물의 농도로 표현되며, 약물을 섭취한 후 약물의 최고 혈중농도를 Cmax, 최고 혈중농도 도달시간을 Tmax로 표현한다. 약효를 발휘하기 위해서는 혈액 속에서 어느 농도 이상, 즉 AUC가 차지하는 면적이 어느정도 이상을 유지해야한다. 약물의 반감기는 처음 농도에 비해 농도가 절반으로 줄어들기까지 걸리는 시간을 나타내며, 항상 일정하다.
약물의 혈중 농도 공식은 지수함수로 표현된다. 예를 들어 반감기가 6시간인 약을 먹었을 때 초기 혈중 농도가 200(㎍/mL)일 경우, 12시간 후의 혈중농도는 C=200 TIMES ( {1} over {2} ) ^{2} =50(㎍/mL)이다. 즉, 약을 먹고 12시간이 지나면 혈중 농도가 최초 농도의 1/4이 되는 것이다.
타이레놀은 일반형과 서방형(이알)이 있는데, 서방형의 경우 반감기가 8시간으로 일반형의 4시간보다 길어 더 오랫동안 지속된다. 이는 서방형이 이중형태의 제형으로 되어 있어 신속한 효과를 내면서도 약효가 지속적으로 유지할 수 있기 때문이다. 초기 혈중 농도 Cmax가 200(㎍/mL)라고 가정할 때, 타이레놀 일반형은 4시간 후 농도가 100(㎍/mL)이 되지만, 타이레놀 이알형은 8시간 후에도 100(㎍/mL)을 유지한다.
이를 통해 약물의 혈중 농도 그래프가 실제로 약물을 사용하는 방법, 즉 하루에 몇번 먹고 식전 식후 등을 결정하는데 중요한 역할을 한다는 것을 알 수 있었다. 또한 약물의 농도가 지수함수적으로 감소한다는 것에 놀랐으며, 이는 약학과 수학이 밀접한 관련이 있다는 것을 깨닫게 되었다.
1.2. 연구 내용
1.2.1. 약물의 혈중농도 그래프
약물의 혈중농도 그래프, 즉 혈액 속에 있는 약의 성분의 농도 그래프는 시간에 따른 약물의 농도로 표현한다. 약물을 섭취한 후 약물의 최고 혈중농도를 Cmax로 표현하며, 최고 혈중농도 도달시간을 Tmax로 말한다. 이때 그래프의 아래쪽 면적을 AUC라고 칭하며, 그것이 클수록 몸속에서 약이 많이 이용되었다고 판단한다. 의약품이 약효를 발휘하기 위해서는 혈액 속에서 어느 농도 이상, 즉 AUC가 차지하는 면적이 어느정도 이상을 유지해야한다. 이때 의약품이 체내에 들어가면 농도가 Cmax이후 서서히 낮아지기 시작하며 처음 농도에 비해 농도가 절반으로 줄어들기까지 걸리는 시간을 약물의 반감기라 한다. 약물의 반감기는 고유한 성질로, 항상 일정하다.
1.2.2. 약물의 혈중 농도 공식의 예시
약물을 섭취한 후 혈액 속에서의 약물 농도는 시간에 따라 감소하며, 이는 지수 함수로 표현할 수 있다. 예를 들어, 반감기가 6시간인 약물을 섭취하여 초기 혈중 농도가 200(㎍/mL)일 경우, 12시간 후의 혈중농도를 구해보면 다음과 같다.
반감기가 6시간이므로 반감기일 때의 상태를 식에 적용하면 t는 6, 혈중 농도는 최고 농도의 절반인 100이 된다. 이 식을 다시 대입하면 100=200 × e^{-6k}이다. 따라서 12시간 후의 혈중 농도는 C=200 × (1/2)^2=50(㎍/mL)이다.
이를 통해 이 약물의 경우, 약을 먹고 12시간이 지나면 혈중 농도가 최초 농도의 1/4이 되는 것을 알 수 있다. 이처럼 약물의 혈중 농도는 시간에 따라 지수 함수적으로 감소하며, 반감기를 통해 그 변화율을 예측할 수 있다.
1.2.3. 약물의 혈중농도 공식 - 타이레놀 적용
타이레놀은 실제로 종류가 많은 대중적인 약품 중 하나이다. 타이레놀, 타이레놀 이알, 타이레놀 우먼스, 타이레놀 콜드, 타이레놀 어린이용 등 다양한 종류가 있는데, 그 중에서도 사람들이 특징을 잘 모르는 타이레놀 이알에 대해 살펴보고자 한다.
타이레놀과 타이레놀 이알은 성분이 모두 아세트 아미노펜으로 동일하지만, 타이레놀 이알(ER=Extended Release)은 일반형보다 약물을 서서히 방출시켜 효과를 오래 지속시키는 약이다. 실제로 일반 타이레놀은 진통, 해열 효과가 4시간 정도 지속되는데 반해 이알은 8시간 정도로 더 오래 지속된다. 이유는 타이레놀 이알정이 이중형태의 제형으로 되어 있어(한 층은 일반형, ...
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