본문내용
1. 등비수열의 합 원리 탐구
1.1. 수열의 극한
수열의 수렴과 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다. 수열의 극한에 대한 기본 성질을 이해하고, 이를 이용하여 극한값을 구할 수 있다. 등비수열의 극한값을 구할 수 있다. 급수의 수렴, 발산의 뜻을 알고, 이를 판별할 수 있다. 등비급수의 뜻을 알고, 그 합을 구할 수 있다. 등비급수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. 수열의 극한과 급수에 대한 기본적인 개념과 성질을 이해하고 있다. 수열의 극한에 대한 개념을 바탕으로 여러 가지 문제를 해결할 수 있는 능력을 갖추고 있다. 등비수열과 등비급수에 대한 개념을 이해하고, 이를 실생활 문제에 적용할 수 있다. 수열과 급수에 대한 개념, 성질, 문제해결 능력이 탁월하다.
1.2. 등비수열의 극한
등비수열은 각 항의 크기가 일정한 비율을 유지하는 수열이다. 수열의 일반항이 ar^(n-1)의 형태를 가지는 경우, 이를 등비수열이라고 한다. 여기서 a는 첫째항, r은 공비(공차)를 나타낸다.
등비수열의 극한은 공비 r의 값에 따라 달라진다. 먼저 |r| < 1이면 등비수열은 수렴한다. 이 경우 등비수열의 극한값은 a/(1-r)이 된다. 이는 등비수열의 합공식을 통해 알 수 있다.
다음으로 |r| > 1이면 등비수열은 발산한다. 이러한 경우 등비수열의 극한값은 존재하지 않는다.
마지막으로 |r| = 1이면 등비수열은 발산한다. 이 경우에도 등비수열의 극한값은 존재하지 않는다.
즉, 등비수열의 극한값은 공비 r의 절댓값에 따라 수렴 또는 발산하게 된다. 공비가 1보다 작으면 수렴하고, 1보다 크거나 같으면 발산하는 것이다. 이를 통해 등비수열의 성질과 극한값을 이해할 수 있다.
1.3. 등비급수의 합
등비수열의 일반항을 a라 하고 공비를 r이라 할 때, 등비급수의 합은 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다. 이를 등비급수의 합 공식이라 한다.
S = a / (1 - r)
단, 이 공식이 성립하기 위해서는 공비 r의 절댓값이 1보다 작아야 한다. 즉, |r| < 1이어야 한다.
등비급수의 합 공식을 이용하면 등비수열의 합을 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 등비수열 2, 6, 18, 54, ... 의 합을 구하고자 한다면, 일반항 a = 2, 공비 r = 3이므로 공식에 대입하면 S = 2 / (1 - 3) = 2 / (-2) = -1이 된다.
등비급수의 합 공식은 여러 가지 실생활 문제에 활용될 수 있다. 예를 들어 매년 일정 금액을 저축할 때 일정 기간 후 얼마가 모이는지, 또는 이자율이 일정한 경우 원금이 얼마나 불어나는지 등을 계산할 수 있다.
이처럼 등비급수의 합 공식은 수열의 합을 구하는 데 유용하게 사용되며, 실생활 문제 해결에도 널리 활용되고 있다.
2. 미분법 개념
2.1. 여러 가지 함수의 미분
지수함수와 로그함수의 미분을 이해할 수 있다. 지수함수의 극한과 로그함수의 극한을 구할 수 있으며, 이러한 함수들을 미분할 수 있다.
삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 이를 이용하여 삼각함수의 극한을 구할 수 있다. 또한 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
함수의 몫을 미분할 수 있다. 합성함수를 미분할 수 있으며, 매개변수로 나타낸 함수도 미분할 수 있다.
음함수와 역함수를 미분할 수 있고, 이계도함수도 구할 수 있다.
이상과 같이 다양한 함수의 미분법을 이해하고 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다. 미분법에 대한 이해를 바탕으로 도함수의 활용으로 접선의 방정식 구하기, 함수의 그래프 그리기, 방정식과...
