본문내용
1. 서론
1.1. 탐구 동기 및 목적
책 '미적분으로 바라 본 하루'를 읽으며 생물의 개체수가 어떻게 변하는지 궁금하였고, 변화에는 어떤 특징이 있을지, 혹은 이것을 공식화해서 나타낼 수 있는지 궁금하였다. 더 알아보니 학교 수업에서 배운 지수함수와 로그와도 관련이 있어 더 깊게 알아보고자 한다. 개체수의 변화는 어떤 경향을 나타내는지, 로지스틱 방정식이란 무엇인지 이번 기회를 통해 알아보고자 한다.
개체군 일정한 지역에 모여 살면서 서로 자유로운 교배가 일어나는 생물 집단이며, 환경 저항은 생물이 환경 내에서 증식할 때, 증식을 억제하도록 환경으로부터 가해지는 힘이다. 또한 환경 수용력은 환경이 수용할 수 있는 범위로 한 생태계에서 개체군의 수가 증가할 수 있는 최대치이다.
J자 곡선은 주황색으로 대문자 J의 형태의 그래프로, 생물 개체수의 이론적인 증가 경향을 나타내며, 지수함수 형태를 가진다. 반면 S자 곡선은 초록색으로 대문자 S의 형태의 그래프로, 실제 생장 곡선을 나타내며 환경 저항 때문에 이론적인 지수함수와 차이가 나타난다.
지수 성장 모형은 맬서스가 제안한 것으로, P(t)=P0{e}^{rt} 라는 지수 함수 식으로 나타낼 수 있다. 로지스틱 모형은 환경 저항을 고려하여 페르훌스트가 수정한 것으로, 로지스틱 함수의 기본형을 t에 대한 어떤 생물의 개체수로 나타낸 것이다. 이때 상수 L은 최대 정원을 나타내는 환경 수용력, 상수 k는 생물이 도달할 수 있는 최대 증가율을 나타낸다.
실제 증가율은 개체군의 크기 N이 K에 가까워지면 감소하고 K가 되면 0이 된다. 따라서 N이 K보다 크면 실제 증가율이 음수가 되어 K가 될 때까지 감소하는 시그모이드 곡선의 형태를 이루게 된다. 이를 반영한 로지스틱 모형의 예시를 통해 20년 후 개체수를 직접 구해볼 수 있다.
코로나 확진자가 나온 상황에서 만약 100번째 확진자가 발생한 후에 n일 후에 확진자 수를 Pn이라고 하면, 로그 스케일을 사용하여 r의 크기를 알 수 있다. 이를 통해 0부터 100번째까지의 확진자 수 추이를 예측할 수 있다.
개체군 성장곡선을 나타내는 J자 곡선과 S자 곡선을 통해 생물의 이론적인 증가 경향과 실제 생장 곡선의 차이를 확인할 수 있다. 환경 저항으로 인해 실제 생장 곡선은 S자 형태를 띠게 된다.
기질의 농도-반응속도 그래프에서의 K는 효소가 기질과 모두 결합했을 때의 반응속도를 나타내며, 기질의 농도를 계속 높여도 특정 한계치에서 반응속도가 일정한 값을 가지게 된다. 이는 효소의 결합 부위가 한정되어 있기 때문이다.
전염병은 전염력이 강해 쉽게 감염되는 질병으로, 바이러스가 번식하는 과정으로 볼 수 있다. 전염병의 전파 양상은 적절한 생태학 모델인 로지스틱 방정식으로 나타낼 수 있다. 인간의 개체 수는 한정되어 있고 방역이나 마스크 등 바이러스 입장에서는 번식을 방해하는 환경 요인이기 때문에, 생장곡선의 한계 수용력이 동일하게 적용된다. 로지스틱 곡선을 미분하면 전염병 증가 추세(접선의 기울기)를 알 수 있다. 또한 S, E, I, R 등의 요인들을 종합적으로 반영한 SIR, SEIR, SIS 등의 전염병 예측 모델이 있다.
시그모이드 함수는 S와 같은 형태를 가진 함수로, 주로 학습 곡선 등을 나타내는 함수이다. 입력값에 따라 출력값이 처음에는 느리게 증가하다가 후에 급격히 증가하거나 감소하는 특징을 가지며, 이는 생장과정에서 초기에는 성장 속도가 느리지만 나중에는 가파르게 증가하다가 어느 정도 포화 상태에 이르는 현상을 잘 반영한다.
시그모이드 함수는 미분과 부정적분이 가능하며, 도함수와 이계도함수를 사용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있다. 또한 도함수의 형태가 특이하여 미분 방정식 형태로 응용이 가능하다.
시그모이드 함수는 현재 신경망에 주로 이용되고 있으나, 앞으로 약물의 농도와 반응 사이의 관계 모델링, 암의 성장 속도 또는 심장 질환의 변화 모니터링, 유전자 발현 패턴 분석, 세포 성장 및 분열 예측 등 다양한 생명현상 분야에서 활용될 수 있을 것으로 기대된다.
책을 읽으면서 생물의 개체수 변화에 대한 궁금증을 가지게 되었고, 이를 지수함수와 로지스틱 함수를 통해 이론적인 모델링과 실제 생장 곡선의 차이를 이해할 수 있었다. 또한 로지스틱 방정식과 시그모이드 함수의 미적분적 특징 및 응용 분야에 대해 살펴보았다.
개체군 성장곡선, 효소-기질 반응 속도,...
