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1. 삼각함수
1.1. 삼각비의 정의
직각삼각형의 한 예각(B)이 결정되면 임의의 2변의 비는 삼각형의 크기에 관계없이 일정하다. 이들 비를 그 각의 삼각비라 한다. 사인(sine)은 빗면에 대한 높이의 비이며, 코사인(cosine)은 빗면의 대한 밑변의 비이다. 탄젠트(tangent)는 밑면의 대한 높이의 비이다. 구체적으로 삼각비는 다음과 같이 정의된다.
사인(sin B) = 높이 / 빗면 = b / c
코사인(cos B) = 밑면 / 빗면 = a / c
탄젠트(tan B) = 높이 / 밑면 = b / a
이러한 삼각비는 삼각형의 크기와 상관없이 일정하며, 이를 통해 삼각형의 각도와 변의 길이 사이의 관계를 확인할 수 있다.
1.2. 특수각의 삼각비
삼각비란 직각삼각형의 한 예각이 결정되면 임의의 두 변의 비가 해당 삼각형의 크기에 관계없이 일정한 값을 갖는 것을 말한다. 이러한 특정한 각도에서의 삼각비를 특수각의 삼각비라 한다.
대표적인 특수각인 30°, 45°, 60°에서의 삼각비는 다음과 같다. 30°의 사인은 1/2, 코사인은 √3/2, 탄젠트는 1/√3이다. 45°의 사인과 코사인은 1/√2, 탄젠트는 1이다. 60°의 사인은 √3/2, 코사인은 1/2, 탄젠트는 √3이다.
이들 특수각의 삼각비는 서로 관련이 있는데, 30°와 60°는 상호 보완적인 관계에 있다. 즉, 30°의 사인은 60°의 코사인과 같고, 30°의 코사인은 60°의 사인과 같다. 또한 30°와 45°, 45°와 60°의 삼각비도 일정한 관계를 갖고 있다.
이처럼 특수각의 삼각비는 매우 중요한 기초 개념이며, 이를 이해하면 다양한 삼각함수 관련 공식과 계산을 보다 쉽게 익힐 수 있다.
1.3. 삼각비의 상호관계
삼각비의 상호관계를 살펴보면, 예각의 삼각비와 보각의 삼각비, 그리고 같은 각의 삼각비 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
먼저, 예각의 삼각비와 보각의 삼각비의 관계를 보면, sin(90°-A) = cosA, cos(90°-A) = sinA, tan(90°-A) = 1/tanA이다. 즉, 예각의 사인은 보각의 코사인과 같고, 예각의 코사인은 보각의 사인과 같으며, 예각의 탄젠트는 보각의 탄젠트의 역수와 같다.
다음으로, 보각의 삼각비 관계를 살펴보면, sin(180°-A) = sinA, cos(180°-A) = -cosA, tan(180°-A) = -tanA이다. 즉, 보각의 사인은 예각의 사인과 같고, 보각의 코사인은 예각의 코사인의 음수와 같으며, 보각의 탄젠트는 예각의 탄젠트의 음수와 같다.
마지막으로, 같은 각의 삼각비 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. sin²A + cos²A = 1, tanA = sinA/cosA, 1 + tan²A = 1/cos²A이다. 즉, 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이고, 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값이며, 탄젠트의 제곱에 1을 더한 값은 코사인의 제곱의 역수와 같다.
이와 같은 삼각비의 상호관계를 이해하면, 다양한 각도의 삼각비를 효과적으로 계산할 수 있다. 이러한 삼각비 간의 관계는 전기 및 전자 공학, 물리학, 수학 등 다양한 분야에서 활용된다.
2. 제곱근의 계산
a > 0, b > 0 일 때 제곱근의 계산은 다음과 같다.
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