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1. 서론
1.1. RC 및 RL 회로의 과도응답 이해
기본적인 수동소자인 저항, 인덕터, 커패시터를 서로 조합하여 RC, RL, LC, RLC 회로를 만들 수 있다. RC, RL 1차 회로를 해석하는 것은 수동소자의 특성을 이해하고 일반적인 아날로그 회로를 해석하는데 아주 유용하다. 한 개의 인덕터나 한 개의 커패시터를 포함하는 회로를 1차 회로라 하며, 회로방정식은 1차 미분방정식 형태로 표현된다.
정상상태에 있는 회로에 입력신호를 인가하였다고 가정할 때, 인가 순간부터 정상상태로 도달할 때까지의 회로의 응답을 과도응답이라고 한다. 과도응답을 해석하기 위한 입력으로 임펄스, 스텝, 펄스 신호 등이 흔히 사용된다. 과도응답이 나타나는 이유는 회로가 외부의 변화에 대하여 본래의 상태를 유지하고자 하는 관성의 결과이며, 인덕턴스는 전류의 변화를 방해하고 커패시턴스는 전압의 변화를 방해하기 때문이다.
대전력을 다루는 회로에서는 과도응답이 제어회로처럼 매우 민감한 요소는 아니지만 급격한 부하변동이나 고장이 발생하면 매우 짧은 시간이지만 커다란 과도현상이 발생하기 때문에 종종 문제를 발생시킬 수 있다. 전력회로는 주로 RL 회로이며, 컨트롤 회로는 주로 RC 회로이기 때문에 이들의 기본적인 응답 특성을 숙지해야 한다.
1.2. 시정수 개념 소개
시정수는 RC 및 RL 회로의 과도응답 특성을 결정하는 중요한 개념이다. RC 회로에서 시정수 τ는 RC의 곱으로 정의되며, RL 회로에서 시정수 τ는 L/R의 비로 정의된다.
RC 회로의 경우, t = RC 일 때 커패시터 전압이 입력전압의 약 63.2%(1-e^-1)에 도달한다. 즉, 시정수 τ는 과도상태에서 출력 값의 응답 속도를 결정한다.
마찬가지로 RL 회로에서 t = L/R일 때 저항 전압이 입력전압의 약 63.2%(1-e^-1)에 도달한다. 따라서 L/R 비가 클수록 과도응답의 변화 속도가 느려진다.
시정수는 회로의 동특성을 파악하는 데 매우 유용한 개념이다. RC와 RL 회로의 과도응답 특성을 이해하기 위해서는 시정수의 의미와 이에 따른 출력 변화 특성을 숙지하는 것이 중요하다.
2. RC 회로의 과도응답 분석
2.1. RC 회로 이론 및 미분방정식 유도
RC 회로는 기본적인 수동소자인 저항과 커패시터를 조합하여 만든 1차 회로이다. RC 회로의 과도응답을 분석하기 위해서는 회로 이론과 미분방정식 유도가 필요하다.
먼저, RC 회로에 KCL(Kirchhoff's Current Law)을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 전류 i와 커패시터 전압 v_c, 그리고 전원 전압 V_s의 관계를 나타내는 것으로, 이는 RC 회로의 기본 관계식이 된다.
i + (v_c - V_s) / R = 0
다음으로, 커패시터의 전류-전압 관계를 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
i = C * dv_c / dt
위 두 식을 이용하면 RC 회로의 미분방정식을 유도할 수 있다.
C * dv_c / dt + (v_c - V_s) / R = 0
이 1차 미분방정식의 해는 커패시터의 초기 전압이 0V일 때 다음과 같다.
v_c(t) = V_s * (1 - e^(-t/RC))
이 식에서 RC의 값은 RC 회로의 과도상태에서 출력 값 v_c의 응답 속도를 결정한다. 구체적으로 t = RC일 때 v_c는 V_s(1-e^(-1)) = 0.632V_s가 된다. 이 시간을 시정수(time constant)라 하며, 일반적으로 τ로 표기한다.
즉, RC 회로의 시정수는 τ = RC이며, 이 값은 RC 회로의 과도응답 특성을 결정하는 중요한 파라미터가 된다. 시정수가 작을수록 응답 속도가 빨라지며, 시정수가 크면 응답 속도가 느려진다.
2.2. 커패시터 전압 변화 분석
RC 회로에서 t = 0인 순간에 스위치를 닫아 커패시터를 충전시키면, 커패시터 양단의 전압 변화를 시간에 따라 나타낼 수 있다. KCL을 적용하면 커패시터에 흐르는 전류와 저항 양단의 전압 차이 사이에 i + (vc - Vs)/R = 0 의 관계가 성립한다. 또한 커패시터의 전류-전압 관계는 i = C dvc/dt 이다. 이 두 식을 이용하면 RC 회로의 회로방정식은 C dvc/dt + (vc - Vs)/R = 0 의 1차 미분방정식 형태로 나타낼 수 있다.
이 미분방정식의 해는 커패시터의 초기전압이 0[V]라고 가정하면 vc(t) = Vs (1 - e^(-t/RC)) 로 표현된다. 이 식에서 RC의 값은 RC 회로의 과도상태에서 출력 값 vc의 응답 속도를 결정하는 중요한 요소이다. 구체적으로 vc는 t = RC일 때 Vs(1 - e^(-1)) ≈ Vs(0.632)가 되는데, 이 시간을 시...
