본문내용
1. 4차원 벡터의 내적을 이용한 민코프스키 공간 구현
1.1. 서론
1.1.1. 탐구 동기
2023 대구 수학 페스티벌에 참가하여 차원과 관련된 부스 체험을 했었다. 1차원의 세계에서 2차원을, 2차원의 세계에서 3차원을, 3차원의 세계에서 4차원을 구현해낸다는 점이 매력적으로 다가왔다. 그러다 문득 기하 시간에 배운 평면 벡터를 이용하여 3차원 및 4차원의 내적까지 표현할 수 있을까 궁금해졌다. 추가로 더 알아본 결과 '포벡터'를 이용하여 4차원의 내적을 구할 수 있다는 것을 알게 되어 탐구 주제로 삼았다.
1.2. 본론
1.2.1. 로렌츠 변환
차원이란 공간의 성질을 나타내는 수로, 공간 내에서 점을 지정할 때 필요한 독립 좌표의 수를 뜻한다. 0차원은 점, 1차원은 직선, 2차원은 평면, 3차원은 입체를 말한다. 2차원에서 공간의 위치는 (x,y)로 나타내며, 3차원에서는 3개의 축이 존재하므로 (x,y,z)로 나타내게 된다. 이때, 원점으로부터의 거리의 제곱(s^2)은 2차원에서 x^2+y^2이고, 3차원에서 x^2+y^2+z^2이 된다.
이에 따라 4차원은 3차원에서 시간을 더한 차원을 말하는데, 로렌츠는 상대성이론에서 시간과 공간이 서로 연결되어서 같이 움직인다고 주장하였다. 즉, 로렌츠는 공간 (x,y,z)와 시간 t가 같이 어울려 다닌다고 말하였다. 이를 나타낼 때 (x,y,z,t)로 표시하게 되고 이것이 4차원을 표기하는 방법이다. 이렇게 4가지 성분을 가진 물리량을 4차원 벡터라고 한다. x,y,z모두 공간을 나타내므로 t도 공간으로 변환해주면 빛의 속력을 곱한 ct가 되고, ct가 허수이므로 (ct)^2은 부호가 (-)이다. 따라서 4차원에서의 원점으로부터의 거리의 제곱은 -c^2t^2+x^2+y^2+z^2이 된다. 이 수식을 민코프스키 메트릭이라고도 부른다.
1.2.2. 4차원 벡터
1.2.2.1. 정의
벡터란 속도, 위치 등과 같이 방향성과 크기를 갖는 물리량을 화살표로 나타내는 기하학적 도구이다. 벡터를 4차원 공간에 나타낸 것을 4차원 벡터(또는 포벡터, 사원벡터)라고 한다. 4차원 벡터는 x, y, z 좌표와 시간 t로 이루어진 4개의 성분을 가지고 있다. 이때 시간 t도 공간으로 간주하여 (ct)^2가 음수가 되도록 구성한다. 이렇게 4개의 성분을 가지는 물리량을 4차원 벡터라고 정의할 수 있다.
1.2.2.2. 내적
4차원 벡터의 내적을 구할 때는 시간이 포함되어 있으므로 계산할 때 주의하여야 한다. 그리고 2차원과 3차원에서의 벡터의 내적을 구할 때와 차이가 있다.
2차원 평면에서 두 벡터 A(x1, y1)와 B(x2, y2)의 내적은 A·B = x1x2 + y1y2로 계산한다. 이는 두 벡터의 크기와 그 사이의 각의 코사인 값의 곱과 같다.
이와 달리 4차원 벡터의 내적은 시간 성분인 t가 포함되기 때문에 다음과 같이 계산한다. 4차원 벡터 A(ct1, x1, y1, z1)와 B(ct2, x2, y2, z2)의 내적은 A·B = -c^2t1t2 + x1x2 + y1y2 + z1z2가 된다. 즉, 공간 성분들의 합에서 시간 성분들의 차이의 제곱을 뺀 값이 4차원 벡터의 내적이 된다.
이렇듯 4차원 벡터의 내적을 구할 때는 시간 성분이 음의 부호를 가지게 되어 3차원 공간에서와는 차이가 있다. 이는 4차원 공간인 민코프스키 공간의 특징을 반영한 것이다.4차원 벡터의 내적을 구할 때의 주요 특징은 다음과 같다.
첫째, 시간 성분 t가 포함되기 때문에 내적을 계산할 때 시간 성분의 차이의 제곱에 음의 부호를 부여해야 한다. 이는 시간과 공간이 상대적이며 연속적으로 연결되어 있다는 민코프스키 공간의 개념을 반영한 것이다.
둘째, 2차원 평면과 3차원 공간에서의 벡터 내적 계산과 달리, 4차원 벡터의 내적에서는 시간 성분이 공간 성분들과 다르게 다뤄져야 한다. 즉, 공간 성분들의 합에서 시간 성분들의 차이의 제곱을 뺀 값이 4차원 벡터의 내적이 된다....
