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1. 미분을 이용한 주사약 농도 분석
1.1. 주사약이란?
주사약이란 약을 투여하는 방법 중 하나로, 주사기를 통해 약물이 직접 혈액에 투여되는 것을 말한다. 내복약과 달리 주사약은 소화관을 거치지 않고 바로 혈액으로 투여되므로, 소화기관에서의 흡수 과정을 거치지 않는다. 따라서 주사약은 내복약에 비해 약물의 흡수가 빠르고 효과가 빨리 나타나는 특성이 있다. 주사약은 환자의 상태에 따라 근육주사, 피하주사, 정맥주사 등 다양한 방법으로 투여될 수 있다. 주사약의 경우 정확한 농도 관리가 매우 중요하며, 적절한 농도 범위를 벗어나면 부작용이 발생할 수 있다. 따라서 주사약 투여 시 주사액의 농도 변화를 파악하고 관리하는 것이 필수적이다.
1.2. 주사액의 농도범위
약물의 혈중농도에는 세 가지 범위가 존재한다. 첫째, 약물의 효과가 나타나는 농도범위로, 이는 유효혈중농도 범위에 약물의 농도가 있을 때이다. 둘째, 약물의 효과가 나타나지 않는 농도범위로, 유효혈중농도 범위보다 약물의 농도가 낮을 때이다. 셋째, 약물의 부작용이 나타나는 위험한 농도범위로, 유효혈중농도 범위보다 약물의 농도가 높을 때이다.
약물의 유효혈중농도는 약물이 약효를 나타내기 위해 필요한 혈액 중의 약물 농도이다. 1번의 경우에 혈중 약물 농도가 가장 높을 때를 최대약효시간이라 하며, 이때 약물의 효과가 가장 뚜렷하게 나타난다. 따라서 약물의 효과가 나타나는 농도범위 안에서 농도가 가장 높을 때 약물의 효과가 가장 뚜렷하게 나타나므로, 이 지점을 구하는 것이 적정한 주사약의 농도를 결정하는데 도움이 될 것이다.
1.3. 혈중농도 그래프
약물의 혈중농도를 나타내는 그래프에는 네 가지 표현이 중요하다.
먼저 그래프의 피크, 즉 가장 높게 나타나는 약의 농도를 '최고혈중농도(Cmax)'라고 한다. 이 최고혈중농도에 도달하는 시간을 '최고혈중농도 도달시간(Tmax)'이라고 한다. Tmax는 약효의 속도를 알고 싶을 때 참고할 수 있는 지표이다.
약의 농도가 피크에 달한 후 그 절반까지 줄어드는 데 걸리는 시간을 '반감기(T1/2)'라고 부른다. 반감기가 길수록 약은 몸속에 오래 머물며 효과도 오래 간다.
그리고 그 그래프(농도곡선)의 아래쪽 면적을 AUC(Area Under the Curve)라고 부르며, AUC가 클수록 몸속에서 약이 많이 이용되었다고 판단할 수 있다.
약의 설명서에는 이들 Tmax, T1/2와 같은 표현이나 수치가 포함되어 있다. 따라서 Tmax는 접선을 그었을 때 기울기가 0이 되는 지점, 즉 농도 그래프를 미분했을 때 0이 되는 지점이라고 할 수 있다. 이처럼 약물의 혈중농도 그래프에 나타난 지표들을 분석하면 주사약의 농도를 결정하는 데 활용할 수 있다.
다만 개인차가 있으므로 설명서의 수치는 건강한 젊은 성인 남성을 기준으로 한 평균치라는 점에 유의해야 한다. 특히 고령자의 경우 대사기능이 떨어져 약의 농도가 완만하게 감소하므로 반감기가 길어져 부작용에 더 유의해야 한다.
1.4. 약물 농도 검사
적절한 투여농도를 결정하기 위해서는 체내 약물 농도를 검사하는 것도 중요하다"". 미국 연구진이 살아있는 동물의 체내 약물 농도를 실시간 감시하고, 직접 적정량을 투여하기도 하는 바이오센서를 개발했다"". 루프 시스템은 혈액 내 약물 농도를 감시하는 바이오센서, 객체의 약물에 대한 민감성을 고려해 적절한 투여량을 계산하는 제어시스템 그리고 계산된 만큼의 약물만 투여하는 펌프 등 3가지로 구성된다"". 핵심은 분자집게로 알려진 '압타머'다"". 압타머는 한 가닥으로 이뤄진 DNA로 작은 화합물이나 바이러스, 중금속, 단백질 등의 존재 여부에 따라 활성이 달라진다"". 센서가 압타머의 변화를 감지해 혈류 속 약물의 양을 파악하는 식이다"". 혈류 속 약물의 양이 많을수록 압타머도 많이 변화하고 제어시스템이 이를 파악해 환자에게 적절한 약물의 양을 결정한다"". 결국 압타머의 순간 변화율, 즉 압타머의 변화를 시간에 따라 미분하여 체내 약물의 농도를 검출하고, 이에 따라 투여농도를 결정할 수 있다""
1.5. 다른 미분방정식 활용 사례
의학과 수학이 만나 변화를 일으킨 또다른 사례는 한국에서도 찾아볼 수 있다. 카이스트 수리과학과 김재경 교수와 글로벌 제약회사 화이자의 장 청 박사 공동연구팀이 수학적 모델을 기반으로 동물실험과 임상시험 간 차이가 발생하는 원인을 밝히고 그 해결책을 제시한 케이스이다.
신약을 개발하기 위해 임상시험 전 단계로 실험용 마우스 등의 동물을 대상으로 전임상 실험을 실시한다. 이 과정에서 동물에서 보였던 효과가 사람에게선 보이지 않을 때가 종종 있고 사람마다 효과가 다르게 나타나기도 한다. 동물실험에서 보였던 효과가 사람을 대상으로 한 임상시험에서 나타나지 않거나 사람마다 효과가 다르게 나타나는 건 신약 개발 과정에서 겪는 큰 어려움 중...
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