본문내용
1. 실생활에서의 미분
1.1. 미분의 개념
미분은 움직이고 변화하는 대상의 "순간적인 변화"를 서술하는 수학의 한 분야이다. 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 발견하고 체계화한 미적분학의 핵심 개념으로, 어떤 함수 f(x)의 미분이란 그 함수의 도함수를 구하는 과정을 의미한다. 함수 f(x)가 미분가능한 경우, x에 대한 y의 변화율인 dy/dx를 구함으로써 해당 함수의 순간적인 변화를 수학적으로 표현할 수 있다.
구체적으로, 함수 f(x)에서 x의 작은 증가분 Δx에 대한 y의 변화분 Δy의 비율, 즉 {DELTA y} over {DELTA x}를 계산하면 평균변화율을 얻을 수 있다. 그리고 Δx가 0으로 한없이 접근할 때 이 비율의 극한값이 바로 해당 지점에서의 순간변화율, 즉 미분계수 f'(x)가 된다. 이러한 미분계수는 곡선 위 어떤 점에서의 접선의 기울기와 같다는 의미에서 중요한 기하학적 해석을 가진다.
미분은 단순히 기하학적인 의미를 넘어, 움직임이나 상태 변화를 이해하는 수학적 도구로 폭넓게 활용된다. 경기나 물가의 변동, 기업의 생산성과 증감, 인구수 변화 등 다양한 영역에서 미분의 원리가 적용되며, 이를 통해 순간적이고 연속적인 변화를 파악할 수 있게 된다. 따라서 미분은 실생활의 여러 분야에서 핵심적인 역할을 담당하고 있다고 할 수 있다.
1.2. 미분의 역사
미분의 역사는 고대 그리스 시절부터 논의되어 왔다"고 할 수 있다. 그리스의 철학자 제논은 아킬레스와 거북의 달리기 시합에 대한 이야기에서 공간과 시간에 관한 역설을 제시하였다. 그러나 본격적인 미적분학은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었다.
뉴턴이 미적분에 접근한 방법은 갈릴레이와 케플리의 전통에 따른 동적인 것이었다. 이러한 운동은 시간이 흐르는 가운데 실현된다. 운동을 하는 것은 독립변수인 시간에 따라서 변한다고 생각할 수 있다. 이 때문에 먼저 시간을 수학적으로 정확하게 추상화하여 균등하게 흐르는 독립된 양으로 삼는다. 그러므로 현대적으로 말해서 순간 속도를 찾기 위해서는 경로 증분의 시간 증분에 대한 비의 극한을 구해야 한다. 곧, 시간이 0으로 될 때의 '마지막 비'를 구해야 한다. 이때 소멸하는 양의 마지막 비는 결코 소멸 직전이나 직후에 생기는 비라고 생각해서는 안 된다. "마지막 비란, 그것으로 이 양들이 소멸하는 비이며, 마찬가지로 처음 비도 그것으로 이 양들이 생기는 비를 말한다." 이렇게 해서 뉴턴은 유율(도함수)의 발견에 다다랐다. 뉴턴은 두 가지 유형의 문제를 고찰하게 되는데 그중 하나가 몇 개의 변량에 관련된 관계식이 있을 때 이 변량과 그들의 유율과 관련된 관계식을 찾는 문제이다. 이것이 바로 미분에 해당한다. 뉴턴은 본인이 발견한 새로운 무한해석으로 곡선의 기울기와 넓이 사이의 역관계를 해명할 수 있었고, 미분과 적분의 기본성질을 대수함수, 초월함수 할 것 없이 모든 함수에 적용할 수 있는 하나의 일반적인 계산법을 마련하였다. 그는 미적분법의 실질적인 창시자가 ...
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