소개글
"라이프니츠가 미적분에 기여한 것"에 대한 내용입니다.
목차
1. 미적분학의 발전과 역사
1.1. 서론
1.1.1. 연구 목적 및 필요성
1.2. 미적분학의 역사
1.2.1. 적분의 발명과 발전
1.2.2. 미분의 발명과 발전
1.3. 미적분학이 근대 수학에 미친 영향
1.3.1. 미적분학의 확립 및 확장
1.4. 실생활에 활용되고 있는 미적분학
1.5. 참고문헌
2. 미적분 심화연구
2.1. 서론
2.2. 미적분의 개념과 역사
2.2.1. 미적분의 개념
2.2.2. 미분의 역사
2.2.3. 미분의 사용목적 및 개념
2.3. 실생활에서의 미적분
2.3.1. 실생활에 이용되는 미분의 예
2.3.2. 경제학에서의 미적분
2.4. 결론
3. 17세기 미적분학을 빛낸 수학자
3.1. 뉴턴(I. Newton, 영국, 1642 - 1727)
3.2. 라이프니쯔(Wilhelm Leibniz, 독일, 1646 - 1716)
3.3. 베르누이(JohannesⅠ, Bernoulli. 스위스, 1667 - 1748)
3.4. 오일러(L. Euler, 스위스, 1707 - 1783)
3.5. 월리스
3.6. 배로
3.7. 드무아브르
3.8. 매클로린
4. 참고 문헌
본문내용
1. 미적분학의 발전과 역사
1.1. 서론
1.1.1. 연구 목적 및 필요성
수학이라는 학문은 인간이 만들고 발전시킨 학문으로서 다른 어떤 학문보다도 우리의 일상에 밀접히 스며들어 있으며, 소립자의 작용부터 우주의 운행에 이르기까지 세상의 모든 법칙을 정확하게 표현하는데 사용된다. 그 중에서 미적분학은 고등학교 수학의 핵심이자 대학 수학의 기초로서 여러 자연과학, 공학, 경제학, 사회학 등에 광범위하게 이용되고 있다. 따라서 미적분학을 왜 배워야 하는지, 그리고 그것이 우리의 삶과 얼마나 밀접한 관련이 있는지를 모르는 학생들의 입장에서는, 미적분학이 재미없고 하기 싫은 과목으로 전락할 수밖에 없다. 하지만 배우는 목적을 명확히 아는 상태에서 미적분학을 만나게 된다면, 학생들은 분명히 미적분학에 흥미를 느끼게 될 것이다. 미적분학의 발전 역사를 탐구하는 것을 통해서 수학의 본질을 파악할 수 있으며, 수학이 우리에게 왜 필요한지를 깨달을 수 있을 것이다. 또한 미적분학은 모든 수학 분야의 근본이 되는 학문이므로, 미적분학의 내용을 심도 있게 하나하나 연구하는 것은 특히 수학을 전공하는 학생들에게는 꼭 필요한 일이다. 따라서 이 연구에서는 미적분학의 수학사적 발전과 그것이 어떻게 수학의 다른 분야들과 연관되는지에 대해서 살펴볼 뿐 아니라, 17세기부터 오늘날까지 미적분학이 우리의 삶에 얼마나 큰 영향을 미쳐왔는지도 고려할 것이다.
1.2. 미적분학의 역사
1.2.1. 적분의 발명과 발전
적분의 기본적인 개념은 인류 역사에서 비교적 일찍 나타났다. 현재 고등학교에서 미분을 먼저 배우고 적분을 나중에 배우는 것과는 달리, 적분의 발상이 미분보다 역사적으로 더 먼저 등장한다. 적분학은 어떤 면적이나 부피, 호의 길이 등을 구하는 과정에서 처음 발생하였다.
고대 그리스 시대에서는 길이, 넓이 또는 부피를 계산할 때, 실진법을 사용했으며 이것이 오늘날 적분학의 밑바탕이 되었다. 고대 그리스의 수학자들은 당시 중요한 관심사였던 원적문제 즉, 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하여 원의 넓이는 구하는 문제라든가 π의 근사값을 구하는 과정에서 자연스럽게 곡선으로 된 도형의 넓이를 탐구하게 되었다.
기원전 500년경 그리스의 수학자 안티폰이 최초로 실진법을 적용하여 원의 넓이를 계산하면서 실진법은 π의 값을 구하는 데 큰 영향을 미치게 되었다. 안티폰의 방법은 원에 정사각형을 내접시킨 다음, 차례로 변의 수를 늘려가며 정팔각형, 정십육각형 등을 내접시켜 원과의 차이를 점점 줄여가는 방법이다. 그렇게 해서 마침내는 정다각형의 변의 길이가 매우 짧아져 다각형의 둘레가 원의 둘레와 같아질 것이라고 생각하여 원의 넓이의 근사값을 구하는 것이다. 이 과정의 계속적인 반복을 통해 다각형과 원과의 차이를 줄여가는 방법이라는 의미에서 실진법(悉盡法)이라는 명칭이 생겨난 듯하다.
즉, 실진법은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고자 할 때, 넓이를 잘 알고 있는 단순한 다각형부터 시작하여 점점 더 주어진 도형에 가까운 다각형으로 변형해감으로써 주어진 도형의 넓이에 계속 근접시켜가는 방법이다. 이후 실진법은 기원전 4세기의 그리스 수학자 에우독소스가 여러 증명에 사용하면서 더욱 발전하게 된다.
적분은 결국 무한소의 합이다. 이 사상은 정도의 차이는 있지만 일찍이 아르키메데스로부터 카발리에리, 윌리스에 이르기까지 줄곧 이론으로 전개되어 왔다. 따라서 적분은 아르키메데스 이래의 전통을 이어받고 있으며, 그를 적분법의 원조라고 할 수 있을 것이다.
아르키메데스(287-212? B.C.)는 실진법을 오늘날의 적분 개념에 가장 근접하게 활용하여 곡선으로 둘러싸인 평면도형의 면적을 성공적으로 계산해 낸 적분법의 선구자였다. 그는 평면도형이 미세한 선을 기본 단위로 하여 이루어졌다고 보고, 평면도형의 넓이를 구하는 문제에 이 '선의 집합'이라는 아이디어를 이용했다. 주어진 면적을 구하기 위해서 먼저 이것을 매우 얇고 평행한 가로 평면 또는 세로 평면으로 자른다. 그리고 그 자르는 과정을 계속해서 반복하다보면, 결국 주어진 도형의 넓이는 수많은 선의 합과 같아진다는 것이다.
1.2.2. 미분의 발명과 발전
미분의 발명과 발전은 고대 그리스 시대부터 시작되었으나, 결정적인 진전은 17세기 중반에 이루어졌다"" 고대 그리스의 수학자 페르마(1601-1665)는 함수의 극대값과 극소값을 결정하는 방법을 고안했는데, 이것이 미분의 개념에 가장 가까웠다"" 페르마는 극값을 찾기 위해 함수 f(x)의 변화량이 매우 작을 때 f(x)의 값이 거의 변하지 않는다는 사실에 주목했다"" 즉, lim_{e->0} {f(x+e) - f(x)} / e = 0 이라는 등식을 이용하여 극값을 구하는 방법을 제시한 것이다"" 이는 무한소의 개념을 사용한 것으로, 이후 미적분학의 발전에 중요한 기반이 되었다""
그러나 미분의 개념이 본격적으로 정립된 시기는 17세기 중반이다"" 영국의 뉴턴(1642-1727)과 독일의 라이프니츠(1646-1716)가 거의 동시에 미적분학을 발명했다"" 뉴턴은 자신의 '유율법'이라 부른 미분 개념을 1665년에 발견했고, 라이프니츠는 1684년에 자신의 '미분법'을 발표했다"" 이 두 사람은 서로 독립적으로 미적분학을 창안했지만, 영국과 대륙 학자들 간의 논쟁은 수세기 동안 지속되었다""
뉴턴은 물리 현상의 연구를 위해 미적분학을 개발했다"" 그는 행성의 운동, 빛의 반사와 굴절, 그리고 힘과 운동량 등의 문제를 해결하기 위해 미분을 고안했다"" 반면 라이프니츠는 수학적 추상화에 중점을 두었다"" 그는 미분법에 대한 기호법을 만들어내어 연산을 단순화하고 체계화했다"" 현재 우리가 사용하는 미적분학의 기호들, 예를 들어 d/dx, ∫, 등은 대부분 라이프니츠가 도입한 것이다""
이처럼 뉴턴과 라이프니츠는 서로 다른 접근 방식으로 미적분학을 발전시켰다"" 뉴턴의 유율법은 당시 물리학자들에게 크게 환영받았지만, 수학적으로는 엄밀하지 않았다"" 반면 라이프니츠의 미분법은 수학적으로 더 체계적이고 편리했다"" 결과적으로 라이프니츠의 방식이 오늘날 미적분학의 기반이 되었다""
이처럼 17세기 중반 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미분학이 획기적으로 발전했다"" 이들의 업적은 이후 많은 수학자들에 의해 더욱 발전되어 현대 미적분학의 토대가 되었다""
1.3. 미적분학이 근대 수학에 미친 영향
1.3.1. 미적분학의 확립 및 확장
17세기 이후 미적분학은 근대 수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 미적분학의 확립 및 확장 과정에서 많은 수학자들이 기여했으며, 특히 코시, 리만, 르베그 등의 노력으로 미적분학은 해석학으로 발전하게 되었다.
18세기를 거치면서 미적분학은 광범위하게 응용되고 관련 분야의 눈부신 발전을 가져왔다. 다양한 수학자들이 미적분학을 발전시켰는데, 베르누이 일가, 테일러, 매클로...
참고 자료
기본자료
김용운 편, 『김용운의 수학사』, 살림, 2017
학위논문
심유미, 「미적분학의 수학사적 고찰」, 연세대학교 석사학위논문, 2016
이수정, 「수학사를 활용한 미적분학 지도자료 연구」, 인하대학교 석사학위논문, 2018
단행본
다카하시 수유․다케우치 도루 외, 『(뉴턴의 대발명) 미분과 적분』, 뉴턴코리아, 2016
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13