본문내용
1. 비선형방정식의 근 비교 및 평가
1.1. 문제 소개
번지 점프 시 (척추손상의 방지를 위해서) 항력계수가 0.25[kg/s]로 주어질 때, 자유낙하 4초 후에 낙하 속도가 36[m/s]을 초과하는 질량은 얼마인가? 이를 구하기 위해서는 운동방정식인 v(t)=sqrt(gm/cd)tanh(sqrt(gcd/m)t)를 통해 질량에 관한 방정식 f(m)=sqrt(gm/cd)tanh(sqrt(gcd/m)t)-v(t)=0을 도출할 수 있다. 이 식을 만족하는 질량을 찾으면 자유낙하 4초 후에 낙하 속도가 36[m/s]을 초과하는 질량을 구할 수 있다.
1.2. 수치해법 비교
1.2.1. bisection method & false-position method
이분법(bisection method)과 가위치법(false-position method)은 대표적인 구간법 중 하나이다. 이 두 수치 해법은 대체로 비슷한 성능을 보이지만 근삿값을 구하는 방식에 있어서 차이가 있다.
이분법의 근삿값 공식은 xr = (xl+xu)/2 이다. 즉, 구간의 중점을 근삿값으로 취한다. 반면 가위치법의 근삿값 공식은 xr = xu - f(xu)*(xl-xu)/(f(xl)-f(xu))로, 가중치를 주어 근삿값을 계산한다.
제공된 문서에서는 이분법과 가위치법을 각각 20번 반복하여 참 상대오차를 구하고 비교하였다. 그 결과 초반에는 두 방식의 참 상대오차가 비슷한 경향을 보였지만, 반복이 거듭될수록 이분법의 참 상대오차가 더 낮아지는 것을 확인할 수 있었다.
구간법인 이분법과 가위치법은 구간을 정해놓고 반복하는 방식이기 때문에, 개방법에 비해 수렴 속도가 느리다는 단점이 있다. 하지만 두 방식 모두 종료 조건을 잘 설정한다면 원하는 근을 얻을 수 있는 우수한 수치 해법이다.
1.2.2. Newton-Raphson method
Newton-Raphson method는 개방법 중 하나로, 초깃값 설정이 중요하기 때문에 MATLAB을 활용한 그래프를 통해 초깃값을 설정하여 사용하였다"" 주어진 문제의 함수 f(m)을 미분하여 f'(m)을 구해야 하며, Newton-Raphson 공식은 다음과 같다: x_{i+1} = x_i - f(x_i)/f'(x_i).
그래프를 통해 초깃값을 147로 설정하고 Newton-Raphson 방법을 적용한 결과, 4번의 시도에 수렴하여 함수가 종료되었다" 반면, 주어진 번지 점프 문제의 초깃값인 50을 사용한 경우에는 7번의 시도에 수렴하였다" 이를 통해 초깃값 설정이 반복 횟수 감소에 큰 영향을 미침을 알 수 있었다"
또한 Newton-Raphson법이 수렴하지 않는 경우도 있어, 초깃값 설정이 결과값 도출에 매우 중요하다고 볼 수 있다" 개방법인 Newton-Raphson법은 구간법에 비해 수렴 속도가 빠르지만, 적절한 초깃값을 설정하지 않으면 수렴에 어려움을 겪을 수 있다는 단점이 있다"
1.2.3. secant method
또 하나의 대표적인 개방법인 할선법(secant method)은 Newton-Raphson법에서 도함수의 표현을 없앤 방법이다. 할선법에서 도함수의 계산을 위해 후진 차분(backward finite difference)으로 근사화를 하였다.
할...
1
2
3
4
5
6
7
8