본문내용
1. 미분법과 적분법의 활용
1.1. 미분법의 역사
17세기 영국의 수학자 뉴턴(Newton, I., 1642~1727)은 움직이는 물체의 위치와 속도를 연구하면서 미분법을 발견하였다. 그러나 그는 이 사실을 발표하지 않았다. 약 10년이 지난 후 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G. W., 1646∼1716)는 곡선 위의 한 점에서의 접선을 연구하면서 미분법을 발견하여 세상에 발표하였다. 이로 인해 영국과 독일의 수학자들은 오랜 기간 동안 미분법을 누가 먼저 발견하였는지에 대하여 논쟁을 하였다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각각 독자적으로 미분을 발견했다고 보고, 두 수학자의 업적을 모두 인정해 주고 있다."
1.2. 다항함수의 미분법 사례
1.2.1. 화학 반응의 속도
서로 다른 물질이 만나 새로운 물질이 생성될 때, 일정 시간 동안의 반응 물질 또는 생성 물질의 농도의 변화량을 반응 속도라고 한다. 화학 반응이 일어나기 전과 후의 반응 물질의 농도의 변화량을 전체 반응 시간으로 나누면 평균 반응 속도를 얻을 수 있는데, 이때 반응이 일어나는 시간을 거의 0에 가깝게 하면 매우 짧은 시간 동안의 반응 물질의 농도의 변화량, 즉 순간 반응 속도를 얻을 수 있다.
석회 동굴이 생성되는 현상은 반응 속도가 매우 느린 반면에 폭죽이 터지는 현상은 우리 눈으로 그 모습을 확인하기 어려울 만큼 반응 속도가 빠르다. 이와 같이 순간의 변화를 다루는 수학의 영역을 미분이라고 한다. 함수의 극한의 개념을 바탕으로 미분계수와 도함수를 알 수 있다.""
1.2.2. 한계 비용
한계비용(Marginal Cost)은 생산량의 증분에 대한 생산비의 증분의 비율, 즉 제품 한 단위를 추가로 생산하는데 드는 추가적인 비용이다. 한계비용 곡선은 일반적으로 U자 모양으로 나타나는데, 이는 생산량의 증가에 따라 한계비용이 감소하다가 일정 수준을 지나면 다시 증가하기 때문이다.
생산량의 증가에 따라 한계비용이 감소하는 이유는 다음과 같다. 처음 생산을 시작할 때는 고정비용이 상대적으로 크기 때문에 한계비용이 높지만, 생산량이 늘어나면서 고정비용을 생산량으로 나누면 단위당 고정비용이 감소하게 된다. 또한 기술 진보와 작업 효율성 향상으로 인해 생산 비용이 점차 낮아질 수 있다.
그러나 일정 수준 이상의 생산량에 이르면 병목현상, 비숙련 노동자 투입, 자재 부족 등으로 인해 한계비용이 다시 증가하게 된다. 결국 한계비용 곡선은 U자 형태를 나타내게 되는 것이다.
기업은 이러한 한계비용 곡선을 고려하여 생산량을 결정한다. 이윤 극대화를 위해서는 한계수익과 한계비용이 같아지는 수준까지 생산을 늘려야 한다. 즉, 한계수익이 한계비용보다 크면 생산을 늘리고, 한계비용이 한계수익보다 크면 생산을 줄여야 한다.
따라서 기업은 한계비용 곡선을 통해 최적의 생산량을 결정할 수 있으며, 이는 수요와 공급 균형을 달성하고 이윤을 극대화할 수 있는 중요한 의사결정 도구가 된다.
1.3. 움직이는 물체의 속도 측정
움직이는 물체의 속도 측정은 다양한 방법으로 이루어질 수 있다. 주로 스피드 건이라는 속도 측정기를 이용하여 물체의 순간적인 위치의 변화를 알아내고 속도를 계산한다. 스피드 건의 원리는 물체를 향해 발사된 파장과 반사되어 돌아오는 파장의 변화를 이용하는 것이다.
움직이는 물체의 시간에 따른 위치가 미분 가능한 함수로 나타낼 수 있을 때, 도함수를 이용하면 물체의 속도를 알 수 있다. 이를 통해 자연의 다양한 변화 현상을 이해할 수 있으며, 경제학이나 경영학 등의 분야에서 최적의 결정을 내리는 데도 활용될 수 있다.
예를 들어, 배드민턴공의 최고 속도는 시속 330km, 골프공의 최고 속도는 시속 350km, 배구공의 최고 속도는 시속 132km에 이른다고 한다. 이처럼 움직이는 물체의 속도를 측정하고 분석하는 것은 스포츠 경기에서 선수들의 기량을 평가하거나 안전한 비행기 이착륙을 위해서도 매우 중요하다.
1.4. 롤의 정리
롤의 정리란 미적분학에서 미분 가능한 함수에 대한 본질적인 성질로서, 함수값이 같은 두 점이 존재할 경우, 함수의 그래프를 그리면 그 두 값 사이에 접선의 기울기가 0이 되는 점이 반드시 존재한다는 것이다. 구체적으로 다음이 성립한다:
함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분 가능할 때, f(a)=...
