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1. 데카르트의 위대한 발견
1.1. 데카르트는 누구인가?
르네 데카르트(Rene Descartes)는 프랑스의 물리학자, 근대 철학의 아버지, 해석기하학의 창시자로 불린다. 그는 수학자로서 직교 좌표계를 만들어 해석기하학의 창시자로 알려졌으며, 방정식의 미지수에 최초로 x를 사용했다. 또한 거듭제곱을 표현하기 위한 지수의 사용 등을 발명했다. 데카르트는 다양한 여러 상황에서 적용될 수 있는 보편적인 수학을 만든 혁명적인 수학자이며 동시에 고대 그리스 과학을 모두 집대성한 철학자이자 과학자이다. 그의 보편적인 수학은 광학, 천문학, 물리학 등에 다양하게 응용되었으며 전기학, 인공두뇌학 등의 분야에도 응용되고 있다.
1.2. 데카르트의 수학적 업적
1.2.1. 데카르트의 좌표계(=직교좌표계)의 탄생
데카르트의 좌표계(=직교좌표계)의 탄생은 수학의 역사에서 매우 중요한 발전이었다. 데카르트는 전쟁 당시 용병으로 참여하였을 때 몸이 약해 병영의 침대에 누워 천장에 붙어있는 파리를 보고 파리의 위치를 나타내는 일반적인 방법을 찾으려고 애쓰다가 '좌표'라는 발상을 하게 되었다.
이전에는 수학에서 많이 사용되지 않았던 "0"과 음수의 역할이 좌표평면에 의해 구체적으로 나타났다. 즉, 좌표평면을 4개의 구역(제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면)으로 나누어 표시하면서 음수와 0의 정의가 확립된 것이다. 이는 수학에서의 음수와 0의 중요성을 인정하는 계기가 되었다고 볼 수 있다.
또한 좌표평면은 눈에 보이지 않던 대수식을 시각화하여 표현할 수 있게 해주었다. 대수식을 좌표평면 위에 그래프로 나타냄으로써 복잡한 대수적 풀이를 관찰하며 이해할 수 있게 된 것이다. 이는 대수와 기하를 연결시킨 매우 중요한 발견이었다.
더불어 좌표평면은 함수 개념의 발전에도 기여하였다. x에 따른 y의 변화, x와 y의 관계를 그래프로 시각화할 수 있게 되면서 현재의 '함수' 개념이 서서히 정립될 수 있었다.
이처럼 데카르트의 좌표계(=직교좌표계)의 탄생은 수학 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 오늘날까지도 그 중요성이 유지되고 있다고 할 수 있다.
1.2.2. 직교좌표계의 정의와 쓰임
직교좌표계는 임의의 차원의 유클리드 공간을 나타내는 좌표계 중 하나이다. 직교좌표계는 이를 발명한 수학자 르네 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계라고도 불린다. 직교좌표계는 다른 좌표계와 달리, 임의의 차원으로 쉽게 일반화할 수 있다는 장점이 있다.
직교좌표계는 나타내는 대상이 평행 이동에 대한 대칭을 가질 때 유용하지만, 회전 대칭 등 다른 꼴의 대칭은 쉽게 나타내지 못한다. 일반적으로 주어진 유클리드 공간에 기저와 원점이 주어지면 이를 이용하여 직교좌표계를 정의할 수 있다. 가장 흔한 2차원 혹은 3차원의 경우, 직교좌표를 통상적으로 라틴 문자 x, y, z로 적는다. 4차원인 경우, w나 (물리학에서 시공을 다루는 경우) t를 쓴다. 임의의 차원의 경우에는 첨자로 xn의 꼴로 표현한다.
특히 2차원 좌표계는 집합의 정보, 함수의 정보, 다항식의 정보, 행렬의 정보들을 한 공간에서 표현할 수 있는 정보의 통일된 규칙이 적용된다는 점에서 중요한 의미가 있다. 또한 이러한 직교좌표계의 정보는 고차원의 직교좌표계뿐만 아니라 다른 좌표계의 정보로 확장될 수 있어 더욱 중요한 의미를 가지며 지금까지도 계속해서 쓰이고 있다.
1.3. 데카르트의 영향
데카르트의 영향은 수학뿐만 아니라 근대 과학에 큰 영향을 미쳤다. 그의 발견은 음수와 "0"의 역할을 구체화하여 수학의 정의를 확립하였고, 대수와 기하를 체계적으로 융합시켰다.
데카르트의 좌표계 발견 이전에는 그리스인들의 기하학적 사고가 지배적이었다. 하지만 데카르트는 좌표계를 통해 대수식을 기하학적으로 표현할 수 있게 해주었다. 이로써 이전까지 독립적으로 다루어졌던 대수와 기하가 하나의 체계로 통합되었다. 이는 뉴턴의 역학을 비롯한 근대 수학과 과학 발전의 바탕이 되었다.
또한 데카르트는 음수와 "0"의 역할을 구체화하여 수학의 정의를 확립하였다. 이전에는 그리스인들이 음수를 수로 인정하지 않고 오직 양수만을 다루었다. 하지만 데카르트는 음수도 양수와 동등하게 수직선 위에 나란히 표기함으로써 수학의 개념을 확장시켰다. 이는 현대 수학은 물론 현대 과학 전반에 큰 영향을 미쳤다.
더불어 데카르트의 해석기하학은 기하학적 공간에 대한 새로운 개념을 도입하였다. 이전까지 지배적이었던 유클리드의 기하학은 도형의 성질만을 연구하는 데 그쳤지만, 해석기하학은 변화의 개념을 도입하여 도형을 수식으로 표현할 수 있게 되었다. 이를 통해 현대 수학의 발전에 큰 기여를 했다고 볼 수 있다.
요약하면, 데카르트의 발견은 수학과 과학 발전에 큰 획을 그었다고 할 수 있다. 특히 좌표계 도입, 음수와 "0"의 정의 확립, 해석기하학의 창시 등 데카르트의 공헌은 현대 수학과 과학의 기반이 되었다.
1.4. 느낀점
데카르트의 좌표로 좌표를 이용한 수학은 많은 발전을 이루었다. 우리가 배운 직선의 방정식, 함수 단원에서 적용됨을 찾아볼 수 있었다. 개념을 알고 나니 중학교 개념이 적용된 함수 또는 심화된 함수를 풀 때 이해력이 높아져서 쉽게 풀 수 있었다. 단순히 책에 있는 공식을 이용하여 푸는 것이 아닌 전체적인 흐름을 보고, 깊이 있게 공부를...
