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1. 미분스펙트럼과 미분을 활용한 분광기에 대한 고찰
1.1. 서론
진로와 직업시간에 분석화학에 대해 탐구하며 여러 분광법들에 대해 배우게 되었다. 분광법들 중 적외선 분광법(IR)에 대해 배우게 되었는데 적외선 분광법 중 FT-IR이라는 푸리에 변환 적외선 분광기에 대해 알게되었다. 이 분광기에 푸리에 변환이 적용된다는 사실을 알게되었다. 이전까지는 적분에 대해 알지 못해 내용에 대해 자세히 이해할 수 없었지만 수학 2를 학습하며 알게된 적분에 대한 지식을 바탕으로 푸리에 변환, 이를 활용한 하틀리 변환과 같은 수학적 수식들에 대해 이해하고자 하였다. 이에 책 " 푸리에가 들려주는 삼각함수 이야기"를 통해 푸리에 급수 및 변환에 대한 전반적인 이해를 할 수 있었다. 이후 분석화학에서 배운 분광기들이 어떠한 메커니즘을 통해 정량분석들이 이루어지는가에 대해 수학적으로 이해해보고자 탐구를 진행하게 되었다.
1.2. 푸리에 변환
푸리에 변환은 시간 영역의 함수를 주파수 영역의 함수로 변환하는 수학적 방법이다. 입력함수 f(t)를 주기함수 성분으로 분해하여 각 주기함수의 강도를 나타내는 계수를 구하는 것이 푸리에 변환의 핵심이다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
수식입니다. f(t)`=` int _{- INF } ^{INF } {eqalign{F(u)e ^{j2 pi ut} du# # }}
수식입니다. Ff(t)`=` int _{INF } ^{INF } {f(t)e ^{-j2 pi ut}} dt#
수식입니다. Ff(t)``=`F(u)`:`푸리에`변환``표기법#
수식입니다. f(t)`:`변환하고자`하는`연속함수
수식입니다. u`:`주파수`(frequency`)`=` {1} over {시간주기(`T ）}
즉, 입력함수 f(t)를 주파수 성분의 합으로 표현할 수 있으며, F(u)는 각 주파수 성분의 강도를 나타낸다. 이러한 과정을 통해 시간 영역의 신호를 주파수 영역으로 변환하여 분석할 수 있게 된다.
푸리에 변환은 신호 처리, 통신 분야, 음성 처리, 이미지 처리, 제어 시스템 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 선형 시불변 시스템을 분석하는 데 매우 유용하다. 입력 신호와 출력 신호의 관계를 주파수 영역에서 간단한 곱셈 관계로 나타낼 수 있기 때문이다.
푸리에 변환은 고속 푸리에 변환(FFT, Fast Fourier Transform)을 통해 효율적으로 계산할 수 있다. FFT는 주파수 분석 시 필요한 신호를 골라내어 빠르게 연산하는 방법으로, 신호 처리 분야에서 널리 사용되고 있다.
1.3. 고속 푸리에 변환 (FFT, Fast Fourier Transform)
FFT는 주파수 분석을 논할 때 빈번히 언급되는 단어이다. FFT는 샘플링 중 필요한 신호만 골라내어 빠르게 연산하는 방법을 말한다. 푸리에 변환은 시간 영역의 함수를 주파수 영역의 함수로 변환하는데, 이 과정은 연산량이 많아 시간이 오래 걸린다는 단점이 있다. 그러나 FFT는 이러한 단점을 개선하여 빠르게 푸리에 변환을 수행할 수 있다.
FFT는 주파수 분석에 효과적으로 사용되며, 디지털 신호처리, 음성 및 음향 분석, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 활용된다. 입력 신호를 샘플링하여 이산 신호로 변환한 뒤, FFT 알고리즘을 적용하면 주파수 영역에서의 신호 특성을 분석할 수 있다. 이를 통해 신호의 주파수 성분, 주파수 대역폭, 주파수 특성 등을 효과적으로 파악할 수 있다.
FFT는 푸리에 변환을 빠르게 계산할 수 있도록 고안된 알고리즘이다. 기존의 푸리에 변환은 연산량이 O(N^2)이었지만, FFT 알고리즘을 사용하면 연산량이 O(NlogN)으로 크게 줄어든다. 이는 매우 큰 신호 또는 데이터를 효과적으로 분석할 수 있도록 한다.
FFT의 핵심 원리는 분할 정복 알고리즘을 사용하여 푸리에 변환을 빠르게 계산하는 것이다. 입력 신호를 짝수 번째 샘플과 홀수 번째 샘플로 나누어 각각 푸리에 변환을 수행하고, 이를 결합하여 전체 푸리에 변환 결과를 도출한다. 이 과정을 반복하면 빠르게 ...
