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1. 중앙대학교 진동계측실험
1.1. 감쇠값 및 감쇠비
감쇠값 및 감쇠비는 진동계의 운동을 이해하고 분석하는데 중요한 개념이다. 진동이 발생하는 시스템에서 감쇠력은 진동의 크기와 주기에 영향을 미치며, 감쇠비는 감쇠 정도를 나타내는 무차원 계수이다.
감쇠력 F는 속도 v에 비례하며, F = -c·v로 나타낼 수 있다. 여기서 c는 감쇠상수 또는 감쇠계수이고, 음의 부호는 감쇠력이 속도와 반대 방향임을 의미한다. 이러한 점성감쇠 시스템의 운동방정식은 m·d²x/dt² + c·dx/dt + k·x = 0으로 표현된다.
임계감쇠상수 Cc는 운동방정식의 특성식 ms² + cs + k = 0의 판별식이 0이 되는 감쇠상수를 의미한다. 즉, Cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn으로 도출된다. 여기서 ωn은 고유진동수이다.
감쇠비 ζ는 임계감쇠상수에 대한 감쇠상수의 비로 정의되며, ζ = c/Cc와 같이 나타낼 수 있다. 감쇠비에 따라 시스템의 운동특성이 달라지는데, ζ < 1인 부족감쇠 계, ζ = 1인 임계감쇠, ζ > 1인 과감쇠 계로 구분된다.
부족감쇠 계의 운동방정식 일반해는 x(t) = C₁·e^((-ζ+√(ζ²-1))·ωn·t) + C₂·e^((-ζ-√(ζ²-1))·ωn·t)와 같이 표현된다. 여기서 C₁, C₂는 초기 조건에 따라 결정되는 상수이다. 이처럼 감쇠값과 감쇠비는 진동계의 거동을 이해하는데 필수적인 개념이다. []
1.2. 점성감쇠 자유진동
점성 감쇠력 F는 속도 ẋ, 즉 v에 비례한다. 이는 F = -cẋ 식으로 나타낼 수 있는데, 여기서 c는 점성감쇠의 감쇠상수 또는 감쇠계수이며, 음의 부호는 감쇠력이 속도와 반대 방향임을 보여준다. 질량 m의 평형위치에서 측정한 변위 x에 Newton의 법칙을 적용하면 운동방정식은 mẍ + cẋ + kx = 0으로 나타난다.
이 운동방정식에 대한 일반해는 x(t) = C₁e^(st₁) + C₂e^(st₂)로 주어지며, 여기서 s₁,₂ = (-c ± √(c²-4mk)) / (2m)이다. 임계감쇠상수 c_c는 √(k/m)으로 정의되며, 감쇠비 ζ는 c/c_c로 정의된다. 이를 이용하면 s₁,₂ = (-ζ ± √(ζ²-1))ω_n으로 나타낼 수 있고, 결과적으로 운동방정식의 일반해는 x(t) = C₁e^((-ζ+√(ζ²-1))ω_nt) + C₂e^((-ζ-√(ζ²-1))ω_nt)가 된다.
감쇠의 크기에 따라 부족감쇠(ζ<1), 임계감쇠(ζ=1), 과감쇠(ζ>1)의 세 가지 경우로 나눌 수 있다. 부족감쇠의 경우 시간에 따른 변위 x(t)는 지수적으로 감소하는 진동운동을 보이며, 임계감쇠의 경우 변위가 지수적으로 감소하여 진동하지 않고, 과감쇠의 경우 변위가 지수적으로 감소하며 진동하지 않는다. 이와 같이 점성감쇠 자유진동의 운동특성은 감쇠비 ζ에 따라 달라지게 된다.
1.3. 임계감쇠상수와 감쇠비
임계감쇠상수(critical damping constant) c_c는 특성방정식의 근호근이 0이 되는 감쇠상수 c 값으로 정의된다. 즉, ({c_c} over {2m})^2 - {k} over {m} = 0을 만족하는 c_c 값으로, c_c = 2m sqrt{{k} over {m}} = 2sqrt{km} = 2mw_n으로 나타낼 수 있다.
감쇠비(damping ratio) ζ는 임계감쇠상수에 대한 감쇠상수의 비로 정의된다. 즉, ζ = c/c_c이다. 이를 이용하여 운동방정식의 일반해를 구하면 x(t) = C_1 e^{(-ζ+sqrt{ζ^2-1})w_n t} + C_2 e^{(-ζ-sqrt{ζ^2-1})w_n t}와 같이 정리할 수 있다.
여기서 ζ가 0이면 비감쇠 진동이 되며, ζ가 1이면 임계감쇠상태가 된다. ζ가 1보다 작으면 부족감쇠계, ζ가 1보다 크면 과대감쇠계가 된다. 이처럼 감쇠비 ζ에 따라 시스템의 운동 특성이 달라지게 된다.
2. 자유진동 실험 결과 분석
2.1. 실험 목적 및 과정
이번 실험은 질량, 스프링, 댐퍼로 구성된 ...
