본문내용
1. 미분방정식의 활용
1.1. 회로 방정식에서의 미분방정식
1.1.1. 충전 방정식과 이계 미분방정식
축전지(storage battery)란 외부 전기에너지를 화학에너지 형태로 바꾸어 저장해 재사용할 수 있게 만든 전지로 충전지(rechargeable battery) 혹은 배터리(battery)라고 부른다. 이때 스위치 S`를 a에 연결하면 (+)지점 부근과 (-)지점 부근의 퍼텐셜 차이(LAPLACE)가 줄어들어 충전이 완료된다. 이때의 전하량을 q`, 전기용량을 C`라고 하면 다음과 같은 충전 방정식을 만들 수 있다. R``{dq} over {dt} ``+` {q} over {C} ``=` LAPLACE ````
이때 mu `=`e ^{int _{} ^{} {{1} over {RC}} `dt}라고 가정하자. 이러한 가정을 바탕으로 충전 방정식을 미분하면 {d mu } over {dt} `=` {1} over {RC} ` mu `가 성립한다. 이에 충전 방정식에 {d mu } over {dt} `=` {1} over {RC} ` mu 를 대입하면 {d} over {dt} `( mu q)`=` {LAPLACE } over {R} ` mu `가 되고, 이를 적분하면 mu `q``=` int _{} ^{} {{LAPLACE } over {R}} ` mu ``+`A`가 된다. 이를 q에 관한 식으로 정리하면 q`=` {int _{} ^{} {{LAPLACE } over {R} ` mu ``+A}} over {mu } `가 된다. 여기에 mu `=`e ^{{t} over {RC}}를 대입하면 q`=` LAPLACE ㆍC``+` {A} over {e ^{{t} over {RC}}} `이다. 따라서 전하량 q은 기전력(LAPLACE)과 전기용량(C`)의 곱으로 표현되며, 상수 A의 값은 초기 상태(t=0,q=0)를 이용하여 구할 수 있다. 이를 정리하면 q`=` LAPLACE ㆍC``(1-e ^{- {t} over {RC}} )`이 된다.
1.1.2. 방전 방정식과 선형 미분방정식
축전지가 충전되어 전하량 q가 축적되어 있다가 스위치 S가 b에 연결되면, 축전지 양단의 전위차 LAPLACE가 점차 커진다. 이때 도선 내 저항 R'을 전류 i가 흘러 지나면서 저항을 통과하기 전후의 전위차 LAPLACE는 시간이 지남에 따라 증가할 수밖에 없다. 이때 작용하는 방정식은 다음과 같다.
R''dq/dt + q/C = 0
이를 정리하면 다음과 같다. 전하량 q에 대한 선형 미분방정식이 된다. 이 방정식을 적분하면 q = e^(-t/RC) + A가 된다. 여기서 A는 상수이다.
이때 mu = e^(∫1/RC dt) = e^(t/RC)라고 가정하면, 이를 이용해 q = (LAPLACE·C·e^(t/RC) + A)/e^(t/RC)로 나타낼 수 ...
