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1. 미분방정식 개요
1.1. 미분방정식의 활용
미분방정식은 다양한 공학 분야에서 광범위하게 활용되고 있다. 특히 전기회로 분석, 기계공학, 항공공학, 유체역학 등의 분야에서 중요한 역할을 담당하고 있다.
축전지(storage battery)는 외부 전기에너지를 화학에너지 형태로 저장했다가 재사용할 수 있는 전기 장치이다. 축전지의 충전과 방전 과정은 미분방정식을 활용하여 설명할 수 있다. 충전 시 도선에 흐르는 전류와 축전지의 전하량 사이의 관계는 이계 미분방정식으로 기술되고, 방전 시 전하량의 감소는 선형 미분방정식으로 모델링할 수 있다. 이를 통해 축전지의 충전 및 방전 특성을 정량적으로 분석할 수 있다.
발사체의 운동 또한 미분방정식을 통해 설명할 수 있다. 중력의 영향을 받는 발사체의 운동은 미분방정식을 이용하여 기술할 수 있고, 특히 지구 탈출 속도와 같은 중요 물리량을 계산할 수 있다. 또한 달 탈출 속도도 달의 중력가속도와 관련된 미분방정식을 풀어서 도출할 수 있다.
유체역학 분야에서는 Navier-Stokes 방정식이 대표적인 미분방정식 모델이다. Navier-Stokes 방정식은 점성유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분방정식으로, 유체 유동의 다양한 특성을 설명할 수 있다. 예를 들어 경사진 평면에서의 층류 유동, 속도 분포와 전단응력 계산, 체적 유량 및 평균 유속 구하기 등의 문제를 Navier-Stokes 방정식을 활용하여 해결할 수 있다. 이처럼 미분방정식은 공학 분야에서 핵심적인 수학적 도구로 활용되고 있다.
1.2. 회로 방정식과 미분방정식
축전지(storage battery)란 외부 전기에너지를 화학에너지 형태로 바꾸어 저장해 재사용할 수 있게 만든 전지로 충전지(rechargeable battery) 혹은 배터리(battery)라고 부른다. 회로 모형에서 스위치 S를 a 혹은 b에 연결한다면 도선에는 전류가 i만큼 흐를 것이다. 도선에 저항 R`이 존재하며 에너지가 충전되거나 방전될 때의 시시각각 변하는 퍼텐셜 차이를 LAPLACE 라고 한다.
먼저 축전지를 충전하고자 한다면, 스위치 S`를 a에 연결하면 된다. 이때 (+)지점 부근과 (-)지점 부근의 퍼텐셜 차이 (LAPLACE )가 줄어들어 충전이 완료된다. 이때 전하량을 q`, 전기용량을 C`라고 하면 R`` {dq} over {dt} ``+` {q} over {C} ``=` LAPLACE `라는 방정식을 만들 수 있다.
다음으로 충전된 축전지를 사용하고자 한다면, 스위치 S를 b에 연결하면 된다. 이때 점차 도선 사이의 퍼텐셜 차이 (LAPLACE )가 커지게 되며, 도선 내 저항 (R`)을 전류가 흐르면서 겪게 되므로 저항을 통과하기 전후의 퍼텐셜 차이 (LAPLACE )는 시간이 지남에 따라 증가할 수밖에 없다. 이때 R`` {dq} over {dt} `+` {q} over {C} `=`0라는 방전 시 작용하는 방정식을 세울 수 있다.
충전 방정식은 Rㆍ {dq} over {dt} `+` {q} over {C} `=` LAPLACE 로 나타낼 수 있다. 여기서 mu `=`e ^{int _{} ^{} {{1} over {RC}} `dt}라고 가정하면 {d mu } over {dt} `=` {1} over {RC} ` mu 가 성립한다. 이를 충전 방정식에 대입하면 {d} over {dt} `( mu q)`=` {LAPLACE } over {R} ` mu 로 나타낼 수 있다.
이 식을 적분하면 q`=` LAPLACE ㆍC``+` {A} over {e ^{{t} over {RC}}} 로 표현되는데, 여기서 A는 초기 상태 (t=0,q=0)를 통해 계산된다. 따라서 최종적인 충전 방정식은 q`=` LAPLACE ㆍC``(1-e ^{- {t} over {RC}} )이다.
방전 방정식은 R`` {dq} over {dt} ``+` {q} over {C} `=0로 나타낼 수 있다. 이를 적분하면 q`=`e ^{- {1} over {RC} ㆍt``+`A}로 표현되고, 이때 e ^{A} `=`k`,``````RC``=` tau 로 놓으면 q`=`ke ^{- {t} over {tau}}로 정리할 수 있다.
위와 같이 미분방정식을 활용하여 축전지의 충전 및 방전 과정을 수학적으로 모델링할 수 있다. 이를 통해 전하량, 전압, 전력 등 회로 내 물리량들의 변화를 정량적으로 분석할 수 있다. 또한 이러한 접근법은 다양한 전기 회로 시스템의 동적 특성 분석에 활용될 수 있다.
2. 축전지의 충전과 방전
2.1. 충전 방정식과 이계 미분방정식
축전지(storage battery)를 충전하고자 한다면, 스위치 S'를 a에 연결하면 된다. 이때 (+)지점 부근과 (-)지점 부근의 퍼텐셜 차이(LAPLACE)가 줄어들어 충전이 완료된다. 전하량을 q', 전기용량을 C'라고 할 때, 다음과 같은 충전 방정식을 만들 수 있다. R''⋅dq/dt + q/C = LAPLACE 이때 μ = e...
